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Le Petit Prince - Chez moi, je peux toujours aller d’une fleur à une autre par un chemin plus court que tous les autres ; ce chemin s’appelle une « dorate » ou plutôt « un segment de dorate » car j’ai une « raiguèle » qui me permet de prolonger les segments de dorate aussi loin que je veux.

Antoine - C’est pareil chez moi. Mais puisque tu parles de distance, dis-moi quelle unité tu utilises.

Le Petit Prince - « Le pas » c’est ce qu’il y a de plus naturel ! Et justement le plus long tour que je puisse faire sur ma planète mesure exactement 100 pas.... A partir de trois fleurs, je dessine des triangles et je peux mesurer leurs trois côtés : il y en a qui sont « isocèles », d’autres « équilatéraux » (ceux-là ont leurs trois côtés de même longueur).

Antoine - C’est vraiment comme chez moi ! Et tu dois avoir des triangles « rectangles » lorsque deux côtés sont « perpendiculaires ».

Le Petit Prince - Bien sûr ! Je me sers du bord des livres comme équerre. Regarde la figure que je trace à partir des fleurs A et B. Par B je trace la perpendiculaire à la dorate (AB), je l’appelle « b ». Et par A, je trace aussi la perpendiculaire à la dorate (AB), je l’appelle « a ». Que crois-tu qu’il arrive aux dorates a et b ?

Antoine - Chez moi, elles ne se rencontrent pas, on dit qu’elles sont « parallèles ».

Le Petit Prince - Eh bien chez moi sur l’astéroïde B612, elles se rencontrent en deux points ; et j’ai remarqué une chose très curieuse : si C est l’un des points de rencontre alors la distance entre B et C est exactement de 25 pas ! et la distance entre A et C aussi !

Antoine - Ah ça, c’est un peu fort ! mais comment peux-tu raisonner avec une géométrie aussi extravagante ?

Le Petit Prince - Ecoute § j’ai vérifié, sur ma planète, tellement de fois cette propriété que j’ai décidé de la choisir pour vraie dans ma géométrie : je l’accepte comme base de mes raisonnements. A partir de cette propriété, je vais te démontrer le théorème que j’ai découvert. Attention, voici son énoncé : Théorème du Petit Prince : Si un triangle a trois angles droits, alors il est équilatéral.

Antoine - Excuse-moi, mais je te conseille d’aller lentement, car chez nous les triangles ne peuvent avoir qu’un angle droit ! Avec tes perpendiculaires j’en vois arriver deux et maintenant 3 angles droits dans le même triangle ! je vais arrêter le jus d’orange. ...Ma planète est aussi une boule mais elle est tellement grande qu’on ne s’en aperçoit pas. Et lorsqu’on dessine sur une feuille de papier, on peut faire confiance à une géométrie dont j’ai plus l’habitude : « la géométrie plane d’Euclide ». Seulement maintenant je saurais qu’il peut exister plusieurs géométries, pas vraiment différentes, mais pas vraiment les mêmes. Seulement maintenant je vais être plus prudent : je vais baser mes raisonnements sur une liste de propriétés que j’aurais décidé d’accepter et que je me serais écrites dans un catalogue. Je saurai qu’il peut exister plusieurs géométries selon l’endroit où on se trouve...